Определитель матрицы, правило треугольника, свойства
22-03-2014, 15:54

В этой статье мы познакомимся с очень важным понятием из раздела линейной алгебры, которое называется определитель.

Сразу хотелось бы отметить важный момент: понятие определитель действительно только для квадратных матриц (число строк = числу столбцов), у других матриц его нет.


Определитель квадратной матрицы (детерминант) - численная характеристика матрицы.
Обозначение определителей: |A|, det A, A.
 
Определителем "n" порядка называют алгебраическую сумму всех возможных произведений его элементов, удовлетворяющих следующим требованиям:
1) Каждое такое произведение содержит ровно "n" элементов (т.е. определитель 2 порядка - 2 элемента).
2) В каждом произведении присутствует в качестве сомножителя представитель каждой строки и каждого столбца.
3) Любые два сомножителя в каждом произведении не могут принадлежать одной строке или столбцу.
Знак произведения определяется порядком чередования номеров столбцов, если в произведении элементы расставлены в порядке возрастания номеров строк.
 
Рассмотрим несколько примеров нахождения детерминанта матрицы:
У матрицы первого порядка (т.е. имеется всего 1 элемент), детерминант равен этому элементу:
1. |a11| = a11
 
2. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

3. Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (3×3):


 

4. А теперь рассмотрим примеры с действительными числами:

 

 

 

Правило треугольника.

Правило треугольника - это способ вычисления определителя матрицы, который предполагает его нахождение по следующей схеме:

Как вы уже поняли, метод был назван правилом треугольника в следствии того, что перемножаемые элементы матрицы образуют своеобразные треугольники.

Для того, чтобы понять это лучше, разберём такой пример: 

А теперь рассмотрим вычисление определителя матрицы с действительными числами правилом треугольника:

Для закрепления пройденного материала, решим ещё один практический пример:

 

Свойства определителей:
1. Если элементы строки или столбца равны нулю, то и определитель равен нулю.
2. Определитель изменит знак, если поменять местами какие-либо 2 строки или столбца. Рассмотрим это на небольшом примере:

3. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

4. Определитель равен нулю, если элементы одной строки равны соответствующим элементам другой строки (для столбцов также). Самый простой пример этого свойства определителей:

 5. Определитель равен нулю, если его 2 строки пропорциональны (также и для столбцов). Пример (1 и 2 строка пропорциональны):

 6. Общий сомножитель строки (столбца) может быть вынесен за знак определителя.

7) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одну и ту же величину. Рассмотрим это на примере:

 


Просмотры: 70617
Распечатать

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.