Действия с матрицами
19-01-2014, 18:46
В данной статье мы с Вами рассмотрим основные действия с матрицами, а для закрепления пройденного материала решим несколько упражнений.
Определим основные операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение матриц, транспонирование, умножение матрицы на число. Рассмотрим каждой действие в отдельности и поясним примером.
 

1. Сложение матриц


Эта операция действительна только для матриц одинаковых размеров.
Сумма матриц A=(aij) и B = (bij) размера m×n - это матрица "C" размера m×n, элементы которой есть сумма соответствующих элементов матриц A и B:
C = A + B = (сij = aij + Ьij).

Пример:

Даны матрицы "A" и "B" с элементами, указанными на картинке ниже:


Как мы видим, размерность матриц "A" и "B" совпадает и равна 2×3, следовательно эти матрицы можно сложить. Итоговая матрица "C" будет равна: C=A+B. Матрица "C" также имеет размерность 2×3.


Задание:

Найти сумму двух матриц "A" и "B", которые представлены ниже.

 

2. Вычитание матриц


Это действие применимо только к матрицам одинакового размера. Разность матриц A=(aij) и B = (bij) размера m×n есть матрица D размера m×n, элементы которой есть разность соответствующих элементов матриц A и B:
D = A - B = (dij = aij - bij).

 

Пример:

Найдём разность матриц "A" и "B":


Размерность матриц "A" и "B" одинакова, следовательно эти матрицы можно вычитать. Разница D=A-B

Задание:

Найти разность матриц "A" и "B":

 

3. Умножение матрицы на число


При умножении матрицы "A" = (aij) на число "x", каждый ее элемент умножается на это число: xА = (x*aij).

 

 

Пример:

Есть матрица "A", давайте умножим её на 2.

 

 Задача:

Для матрицы "A" нужно найти 5A.

 


 

4. Умножение матриц


Произведение матрицы "A" на матрицу "B" определяется только тогда, когда число столбцов матрицы "A" равно числу строк матрицы "B".
Элемент cij, матрицы произведения, стоящий на пересечении i-ой строки и j-того столбца, равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы "A" на элементы j-того столбца матрицы "B". 
 
Пример:
Даны две матрицы "A" и "B". Нужно перемножить их и записать конечный результат. Ответ сделать подробным.

Решение примера:

 

 

Для начала мы делаем стандартную проверку: число столбцов матрицы "A" равно числу строк матрицы "B", следовательно перемножать их можно.
Для нахождения элемента c11 (1-я строка, 1-й столбец) нужно первую строку матрицы "A" умножить поэлементно на первый столбец матрицы "B" и полученные произведения сложить: c11= 14*2 + 5*5 = 33.
Для нахождения элемента c12 (первая строка, второй столбец) нужно первую строку матрицы "A" умножить поэлементно на второй столбец матрицы "B" и полученные произведения сложить: c12 = 4*(-3) + 5*0 = -12.
Далее делаем по аналогии и подробно записываем нахождение каждого элемента:
c11= 4*2 + 5*5 = 33
c12 = 4*(-3) + 5*0 = -12
c13 = 4*1 + 5*6 = 34
c21 = 1*2 + (-2)*5 = -8
c22 = 1*(-3) + (-2)*0 = -3
c23 = 1*1 + (-2)*6 = -11
c31 = 0*2 + 7*5 = 35
c32 = 0*(-3) + 7*0 = 0
c33 = 0*1 + 7*6 = 42
Теперь нам нужно вписать полученные элементы в итоговую матрицу, тем самым мы запишем итог перемножения матриц:

Задача:

Даны две матрицы "A" и "B". Найти произведение A*B и B*A, и сравните полученные результаты.

 

 

Для решения задачи сперва найдём A*B, затем B*A, а после этого сравним результаты.

 

В результате мы получили, что произведение A*B не равно B*A.


Дополнительная информация: математическая функция "МУМНОЖ" мастера функций fx пакета Excel позволяет быстро перемножить матрицы.

Перед вызовом этой функции надо выделить мышкой диапазон ячеек нужного размера, куда после выполнения процедуры будет помещен ответ.

fx » Математические » МУМНОЖ—> OK.

Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графах "массив 1" и "массив 2" указывается ссылка на ячейки, содержащие значения 1-го и 2-го матричных множителей соответственно. После этого нажимается не "OK", а одновременная комбинация клавиш "Ctrl + Shift + Enter".


 

5. Транспонирование матрицы


Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы "A" заменой строк на столбцы.
Давайте наглядно рассмотрим транспонирование матрицы:

Задача:
Необходимо транспонировать матрицу "A"

 

 


Вот мы и рассмотрели вместе с Вами основные действия с матрицами.
В завершении данной темы, следует обратить внимание на свойства действий с матрицами:

 

При условии, что операции имеют смысл, справедливы следующие свойства:


Просмотры: 48994
Распечатать

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.