Обратная матрица и её вычисление
22-03-2014, 19:14
Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.
Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.
 
Матрица "A" называется обратной матрицей, если выполняется условие A*A-1 = A-1*A = E (единичной матрице).

Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.

 

Схема вычисления обратной матрицы:

1) Вычислить определитель матрицы "A", если A = 0, то обратной матрицы не существует.

2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".

3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij)

4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij)T

5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.

 

6) Выполнить проверку:

 

 

На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.

А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.

 

Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:

 

 

Решаем всё в точности так, как это указано в план-схеме вычисления обратной матрицы.

 

1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":

 

Пояснение:

Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.

Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.

В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.

У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили A = 26, следовательно обратная матрица существует.

 

2. Теперь найдём все алгебраические дополнения.

А11 = 1*(3+1) = 4

А12 = -1*(9+2) = -11

А13 = 1*1 = 1

А21 = -1*(-6) = 6

А22 = 1*(3-0) = 3

А23 = -1*(1+4) = -5

А31 = 1*2 = 2

А32 = -1*(-1) = -1

А33 = 1+(1+6) = 7

 

3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:

 

4. Далее нам нужно транспонировать получившуюся матрицу:

 

 

 

 

5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:

 

 

6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:

 

 

В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.


2 способ вычисления обратной матрицы.

1. Элементарное преобразование матриц

2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.


Элементарное преобразование матриц включает:

1. Умножение строки на число, не равное нулю.

2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.

3. Перемена местами строк матрицы.

4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.

 

А-1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A-1)

2. A-1 * A = E


Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.

Задание: Найти обратную матрицу.

 

Решение:

 

Выполним проверку:

 

 

Небольшое разъяснение по решению:

Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).

После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.

Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.

После проверки мы убедились в правильности решения.

 

Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.

 

В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.


Свойства обратной матрицы:


Просмотры: 12137
Распечатать

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.